マイナンバー制度が始まるのを利用して、
社員の社員番号を従来の番号からマイナンバーでの管理に変更したり、
顧客の管理をマイナンバーで行うようにすることは可能なのでしょうか?

マイナンバーは、その利用用途が厳密に定められています。 
社会保障と税金に関する手続き等に従業員のマイナンバーを記載して
役所に提出するといった目的以外の利用、提供はできません。

マイナンバーを社員番号として利用することや顧客番号として使用することは、
法律で定められていない目的での利用となるため、行う事はできません。
仮に社員や顧客の合意があった場合でも、行う事ができません。